一、填空题
1
P45
给定球面方程 2x²+2y²+2z²−4x+8y+1=0，求它的球心和半径。
简略解答
配方得 (x−1)²+(y+2)²+z²=9/2，球心 (1,−2,0)，半径 3√2/2。
详细解答
方程两边同除 2：x²+y²+z²−2x+4y+1/2=0。
分别配方：(x²−2x)=(x−1)²−1，(y²+4y)=(y+2)²−4。
代入得 (x−1)²+(y+2)²+z²−1−4+1/2=0，即 (x−1)²+(y+2)²+z²=9/2。
所以球心 (1,−2,0)，半径 R=√(9/2)=3/√2=3√2/2≈2.121。
2
P47
求 Oyz 平面上抛物线 z=ay²（a>0）和直线 z=ay（a>0）分别绕 z 轴旋转生成的旋转面方程。
简略解答
抛物线 → 旋转抛物面 z=a(x²+y²)；直线 → 圆锥面 z²=a²(x²+y²)。
详细解答
绕 z 轴旋转的通用做法：把曲线方程中的 y 换成 ±√(x²+y²)（即 y²→x²+y²，y→±√(x²+y²)），z 保持不变。
① z=ay² → z=a(x²+y²)：顶点在原点、开口沿 z 轴正方向的旋转抛物面。
② z=ay → z=a√(x²+y²)，两边平方得 z²=a²(x²+y²)：顶点在原点、半顶角 arctan(1/a) 的圆锥面。注意 z=ay 只有 z≥0 那一半，平方后把 z=−a√(x²+y²) 也带了进来，严格说方程要配 z 与 a 同号。
3
P60
求点 M₀(2,1,1) 到平面 x+2y−2z+1=0 的距离。
简略解答
d=|2+2−2+1|/3=1。
详细解答
点到平面距离公式 d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)。
A=1,B=2,C=−2,D=1，分子 =|1·2+2·1+(−2)·1+1|=|3|=3，分母 =√(1+4+4)=3，故 d=1。
4
P63
求直线 L₁: x/2=(y+1)/1=(z−4)/(−2) 与 L₂: (x+2)/4=y/(−1)=(z−1)/(−1) 的夹角。
简略解答
cos θ=9/(3·3√2)=√2/2，θ=π/4。
详细解答
v₁={2,1,−2}，|v₁|=√(4+1+4)=3；v₂={4,−1,−1}，|v₂|=√(16+1+1)=3√2。
v₁·v₂=2·4+1·(−1)+(−2)·(−1)=8−1+2=9。
cos θ=|v₁·v₂|/(|v₁||v₂|)=9/(9√2)=√2/2 → θ=45°。
5
P85
已知 f(x,y)=xy/(x²+y²)，求 f(1, x/y)。
简略解答
代入化简得 xy/(x²+y²)，与原函数同形。
详细解答
把第一个变量代 1、第二个变量代 x/y：
f(1, x/y)=[1·(x/y)]/[1²+(x/y)²]=(x/y)/[(y²+x²)/y²]=(x/y)·y²/(x²+y²)=xy/(x²+y²)。
6
P95
求函数 z=e^(x/y) 的全微分。
简略解答
z_x=e^(x/y)/y，z_y=−(x/y²)e^(x/y)，故 dz=e^(x/y)·(y dx−x dy)/y²。
详细解答
z_x=∂/∂x e^(x/y)=e^(x/y)·(1/y)；z_y=∂/∂y e^(x/y)=e^(x/y)·(−x/y²)。
dz=z_x dx+z_y dy=e^(x/y)[(1/y)dx−(x/y²)dy]=e^(x/y)·(y dx−x dy)/y²。
注意 (1/y) 只能提出一个：e^(x/y)·(1/y)·(dx−(x/y)dy)，化成通分形式时第二项分母是 y² 而不是 y；写成 (1/y)e^(x/y)(y dx−x dy) 展开后是 e^(x/y)y dx−e^(x/y)x dy，比正确值大了 y 倍，是错的。
数值核对：x=2, y=3, dx=dy=0.001，Δz=z(2.001,3.001)−z(2,3)=2.16×10⁻⁴，与 e^(x/y)(y dx−x dy)/y² 吻合；错误写法给出 6.49×10⁻⁴。
7
P115
求椭圆抛物面 z=2x²+y² 在点 (1,2,6) 处的切平面方程和法线方程。
简略解答
切平面 4x+4y−z−6=0；法线 (x−1)/4=(y−2)/4=(z−6)/(−1)。
详细解答
令 F=2x²+y²−z，则 F_x=4x, F_y=2y, F_z=−1，在 (1,2,6) 处法向量 n=(4,4,−1)。
切平面：4(x−1)+4(y−2)−(z−6)=0，整理得 4x+4y−z−6=0。
法线：(x−1)/4=(y−2)/4=(z−6)/(−1)。
8
P117
求 u=xy+yz+zx 在点 (1,1,2) 处沿方向角 α=60°, β=45°, γ=60° 的方向导数。
简略解答
(5+3√2)/2≈4.621。
详细解答
∇u=(y+z, x+z, x+y)，在 (1,1,2) 处为 (3,3,2)。
方向余弦：cos α=1/2，cos β=√2/2，cos γ=1/2（验证 1/4+1/2+1/4=1，合法方向）。
∂u/∂l=3·(1/2)+3·(√2/2)+2·(1/2)=(5+3√2)/2≈4.621。
9
P135
计算 I=∬_D xy dxdy，D 由抛物线 y=x² 与直线 y=x 围成。
简略解答
I=1/24。
详细解答
两曲线交于 (0,0)、(1,1)，区域为 0≤x≤1，x²≤y≤x。
先对 y 积分：∫_{x²}^{x} xy dy=x·[y²/2]_{x²}^{x}=x(x²−x⁴)/2。
I=½∫₀¹(x³−x⁵)dx=½(1/4−1/6)=½·1/12=1/24≈0.0417。
10
P142
计算 I=∬_D y·cos(xy) dxdy，其中 ①D=[−1,1]×[0,1]；②D=[0,1]×[−1,1]。
简略解答
①2(1−cos 1)≈0.919；②0。
详细解答
①先对 x 积分：∫_{−1}^{1} y cos(xy)dx=[sin(xy)]_{−1}^{1}=2 sin y（y≠0 时），再 I=∫₀¹ 2 sin y dy=2(1−cos 1)≈0.9194。
②区域关于 x 轴对称，而被积函数 y cos(xy) 关于 y 是奇函数（cos(xy) 对 y 为偶），故内层 ∫_{−1}^{1} y cos(xy)dy=0，I=0。
二、选择题
11
P88
证明二重极限 lim(x,y)→(0,0) xy/(x²+y²) 不存在。
简略解答
沿 y=x 极限为 1/2，沿坐标轴为 0，路径不同 → 极限不存在。
详细解答
沿 x 轴（y=0, x≠0）：xy/(x²+y²)=0 → 0。
沿 y 轴（x=0, y≠0）：同样为 0。
沿 y=x：xy/(x²+y²)=x²/(2x²)=1/2 → 1/2。
两条路径极限值不同，故二重极限不存在。
12
P29
在 x 轴上求点 P，使它与 Q(4,1,2) 的距离为 √30。
简略解答
P₁(−1,0,0)、P₂(9,0,0)。
详细解答
设 P(x,0,0)，则 |PQ|²=(x−4)²+(0−1)²+(0−2)²=(x−4)²+5=30，得 (x−4)²=25，x=9 或 x=−1。
故 P₁(−1,0,0)、P₂(9,0,0)，两解关于 Q 在 x 轴上的投影 x=4 对称。
13
P37
已知 M₁(3,5,√2)、M₂(2,6,0)，求向量 M₁M₂ 的模、方向余弦、方向角，以及与它平行的单位向量。
简略解答
M₁M₂={−1,1,−√2}，模 2；方向余弦 (−1/2, 1/2, −√2/2)；方向角 2π/3, π/3, 3π/4。
详细解答
M₁M₂=O M₂−O M₁=(2−3, 6−5, 0−√2)={−1,1,−√2}。
|M₁M₂|=√(1+1+2)=2。
方向余弦：cos α=−1/2，cos β=1/2，cos γ=−√2/2（平方和 1/4+1/4+1/2=1 ✓）。
方向角：α=arccos(−1/2)=2π/3，β=arccos(1/2)=π/3，γ=arccos(−√2/2)=3π/4。
平行单位向量：±M₁M₂/|M₁M₂|=±(−1/2, 1/2, −√2/2)，两个方向都算对。
14
P61
求经过点 (−1,0,2) 且方向向量为 {−1,−3,1} 的直线方程。
简略解答
对称式 (x+1)/(−1)=y/(−3)=(z−2)/1；参数式 x=−1−t, y=−3t, z=2+t。
详细解答
点向式标准形式 (x−x₀)/m=(y−y₀)/n=(z−z₀)/p，代入 x₀=−1, y₀=0, z₀=2, m=−1, n=−3, p=1 得 (x+1)/(−1)=y/(−3)=(z−2)/1。
令其等于 t：x=−1−t，y=−3t，z=2+t。
15
P78
过点 M(−5,2,−1) 且平行于 Oyz 平面的平面是（ ）。A. x+5=0 B. y−2=0 C. z+1=0 D. x−1=0
简略解答
x+5=0（即 x=−5）。
详细解答
平行于 Oyz 平面 ⇒ 法向量取 {1,0,0}（平面方程中不含 y、z），方程形如 x=常数。
点法式：1·(x−(−5))+0·(y−2)+0·(z+1)=0，即 x+5=0（也就是 x=−5）。
选 A。
排除法：B 是 y=2（平行于 Oxz 面）、C 是 z=−1（平行于 Oxy 面）、D 是 x=1，虽然 D 也平行于 Oyz 面但不过点 M。所以正确答案只能是 A。
16
P93
求 z=x³−3x²y+y³ 的所有二阶偏导数。
简略解答
z_xx=6x−6y，z_xy=z_yx=−6x，z_yy=6y。
详细解答
一阶：z_x=3x²−6xy，z_y=−3x²+3y²。
二阶：z_xx=∂(3x²−6xy)/∂x=6x−6y；z_xy=∂(3x²−6xy)/∂y=−6x；z_yx=∂(−3x²+3y²)/∂x=−6x；z_yy=∂(−3x²+3y²)/∂y=6y。
z_xy=z_yx，与混合偏导连续时相等一致。
17
P100
设 w=F(x,y,z)，z=φ(x,y)，求复合函数 w=F(x,y,φ(x,y)) 的偏导数。
简略解答
w_x=F_x+F_z·z_x，w_y=F_y+F_z·z_y。
详细解答
固定 y 对 x 求偏导时，w 通过三条链依赖 x：第一条 x 本身，第三条 z=φ(x,y) 也随 x 变。
故 ∂w/∂x=F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)·∂z/∂x，同理 ∂w/∂y=F_y+F_z·∂z/∂y，其中 z=φ(x,y)，F_x、F_z 在 (x,y,φ(x,y)) 处取值。
18
P107
求 f(x,y)=x²−xy+y²+x−2y 的极值。
简略解答
唯一驻点 (0,1)，为极小值点，极小值 f(0,1)=−1。
详细解答
f_x=2x−y+1=0，f_y=−x+2y−2=0。由第一式 y=2x+1，代入第二式：−x+2(2x+1)−2=0 → 3x=0 → x=0, y=1，驻点唯一。
A=f_xx=2，B=f_xy=−1，C=f_yy=2，AC−B²=4−1=3>0 且 A=2>0 ⇒ 极小值点。
f(0,1)=0²−0·1+1²+0−2·1=0−0+1+0−2=−1。
驻点只有一个且为极小 ⇒ 该极小值也是全局最小值；无极大值。
19
P111
表面积 96 m² 的长方体箱子，长宽高各为多少时容积最大？
简略解答
正方体 4×4×4 m，最大容积 64 m³。
详细解答
设棱长 x,y,z，约束 2(xy+yz+zx)=96，即 xy+yz+zx=48；目标 V=xyz。
令 L=xyz+λ(xy+yz+zx−48)，对 x,y,z 求偏导并令其为 0：yz=λ(y+z)，xz=λ(x+z)，xy=λ(x+y)。三式两两相减得 (x−y)z 型关系，推出 x=y=z。
代回：3x²=48 → x=4。故 4×4×4，V=64 m³（由均值不等式 xy+yz+zx≥3(xyz)^{2/3} 也得同一结论）。
20
P120
求 u=x²+2y²+3z²+xy+3x−2y−6z 的梯度为零的点。
简略解答
(−2,1,1)。
详细解答
u_x=2x+y+3=0，u_y=x+4y−2=0，u_z=6z−6=0。
由第三式 z=1；由前两式解线性方程组：x=2−4y 代入第一式，2(2−4y)+y+3=0 → 4−8y+y+3=0 → −7y=−7 → y=1，x=−2。
故点为 (−2,1,1)。
21
P138
求抛物线 y²=2x 与直线 x=1/2 围成的闭区域 D 的面积。
简略解答
S=2/3。
详细解答
交点：x=1/2 时 y²=1 → y=±1。区域写成 y 型：−1≤y≤1，y²/2≤x≤1/2。
S=∫_{−1}^{1}(1/2−y²/2)dy=2∫₀¹(1−y²)/2 dy=∫₀¹(1−y²)dy=1−1/3=2/3。
22
P153
计算 I=∭_Ω x dxdydz，Ω 由三个坐标面及平面 x+2y+z=1 围成。
简略解答
I=1/48。
详细解答
Ω：0≤x≤1，0≤y≤(1−x)/2，0≤z≤1−x−2y。
先对 z：∫₀^{1−x−2y}dz=1−x−2y。
再对 y：∫₀^{(1−x)/2}(1−x−2y)dy=[(1−x)y−y²]₀^{(1−x)/2}=(1−x)²/2−(1−x)²/4=(1−x)²/4。
最后 I=∫₀¹ x(1−x)²/4 dx=¼(1/2−2/3+1/4)=¼·1/12=1/48。
23
P167
求曲面 z=9−x²−y² 被圆柱面 x²+y²=2 截得的那块曲面面积。
简略解答
A=13π/3≈13.61。
详细解答
z_x=−2x，z_y=−2y，面积元 √(1+4x²+4y²) dxdy。
极坐标：A=∫₀^{2π}dθ∫₀^{√2}√(1+4r²)·r dr=2π·(1/8)·(2/3)[(1+4r²)^{3/2}]₀^{√2}=(π/6)(27−1)=13π/3。
24
P179-3
设闭区域 Ω：x²+y²+z²≤R²（z≥0，上半球体），Ω₁ 是 Ω 在第一卦限的部分（x≥0, y≥0, z≥0）。下列等式成立的是（ ）。C. ∭_Ω z dv = 4∭_{Ω₁} z dv
简略解答
正确。
详细解答
被积函数 z 与 x、y 都无关，而 Ω 关于 xOz 面（y→−y）和 yOz 面（x→−x）都对称，所以在四个卦限的部分上积分彼此相等，Ω 上的积分 = 4 倍第一卦限上的积分。选 C。
其余被积函数（如 x、y、xyz）关于 x 或 y 是奇函数，在对称区域上积分为 0，不等于 4 倍第一卦限上的积分，故不成立。
25
P179-5
设球体 Ω：x²+y²+z²≤a²（a>0）。下列结论错误的是（ ）。A. I=∭_Ω (x²+y²+z²)dxdydz=0
简略解答
该项错误，正确结论是 I>0。
详细解答
被积函数 x²+y²+z²≥0，且在 Ω 内除原点外处处为正，Ω 体积不为 0，因此 I>0。直接用球坐标：I=∫₀^{2π}dθ∫₀^{π}sin φ dφ∫₀^{a}ρ²·ρ² dρ=4π·a⁵/5>0。所以「I=0」是错的，正是本题要选的那一项。
其余各项（如 xy、z·sin(x²+y²) 之类）关于相应变量是奇函数，在对称的球体上积分为 0，结论本身正确，不是错项。
三、解答大题
26
P40
设 |a|=3，|b|=5，确定 k 使向量 a+kb 与 a−kb 垂直。
简略解答
k=±3/5。
详细解答
垂直 ⇔ 数量积为 0：(a+kb)·(a−kb)=a·a−k²b·b=|a|²−k²|b|²=9−25k²=0。
得 k²=9/25，k=±3/5。验算 k=3/5：9−25·(9/25)=0 ✓。两个符号都成立，因为 a+kb 与 a−kb 交换了 k 的符号仍是同一条件。
27
P52
已知两球面 x²+y²+z²=1 与 x²+(y−1)²+(z−1)²=1，求其交线 C 在 Oxy、Oyz 平面上的投影曲线，以及 C 的参数方程。
简略解答
Oyz 投影：y+z=1（0≤y,z≤1）；Oxy 投影：x²/(1/2)+(y−1/2)²/(1/4)=1，z=0；参数方程 x=cos t/√2，y=(1+sin t)/2，z=(1−sin t)/2，t∈[0,2π)。
详细解答
两球面为 S₁: x²+y²+z²=1 与 S₂: x²+(y−1)²+(z−1)²=1。
两式相减消去二次项：−2y+1−2z+1=0 → y+z=1，这就是交线所在的平面。
①Oyz 投影：令 x=0，交线退化为平面 y+z=1 与球面的交，0≤y,z≤1，即线段 y+z=1（0≤y,z≤1）。
②Oxy 投影：把 z=1−y 代入 S₁：x²+y²+(1−y)²=1 → x²+2y²−2y=0 → x²+2(y−1/2)²=1/2 → x²/(1/2)+(y−1/2)²/(1/4)=1，z=0。
③参数化：令 x=cos t/√2，由 2(y−1/2)²=1/2−x²=½sin²t 得 y−1/2=±sin t/2，取 y=(1+sin t)/2，z=1−y=(1−sin t)/2。t∈[0,2π) 时全轨迹走一遍。
28
P55
已知平面 Π 过三点 P₁(1,1,1)、P₂(−2,1,2)、P₃(−3,3,1)，求平面方程。
简略解答
x+2y+3z−6=0。
详细解答
P₁P₂=(−3,0,1)，P₁P₃=(−4,2,0)。
n=P₁P₂×P₁P₃=((0)(0)−(1)(2), (1)(−4)−(−3)(0), (−3)(2)−(0)(−4))=(−2,−4,−6)，取 n=(1,2,3)。
点法式：(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0 → x+2y+3z−6=0。验算 P₃：−3+6+3−6=0 ✓。
29
P91
求 z=x²−3xy+y³ 在点 (1,−2) 处的两个偏导数。
简略解答
z_x(1,−2)=8，z_y(1,−2)=9。
详细解答
z_x=2x−3y，在 (1,−2) 处 =2·1−3·(−2)=2+6=8。
z_y=−3x+3y²，在 (1,−2) 处 =−3+3·4=−3+12=9。
30
P99
复合函数 z=e^u，u=x³sin y，求 ∂z/∂x、∂z/∂y。
简略解答
∂z/∂x=3x²sin y·e^(x³sin y)，∂z/∂y=x³cos y·e^(x³sin y)。
详细解答
链式法则 ∂z/∂x=(dz/du)(∂u/∂x)=e^u·3x²sin y；∂z/∂y=(dz/du)(∂u/∂y)=e^u·x³cos y，其中 u=x³sin y。
31
P102
方程 e^(−xy)−2z+e^z=0 确定隐函数 z=f(x,y)，求两个偏导。
简略解答
z_x=y e^(−xy)/(e^z−2)，z_y=x e^(−xy)/(e^z−2)。
详细解答
令 F(x,y,z)=e^(−xy)−2z+e^z。
F_x=−y e^(−xy)，F_y=−x e^(−xy)，F_z=−2+e^z。
z_x=−F_x/F_z=y e^(−xy)/(e^z−2)，z_y=−F_y/F_z=x e^(−xy)/(e^z−2)。注意 e^z−2≠0 时才成立。
32
P113
求螺旋线 x=2cos θ, y=2sin θ, z=θ 在点 (2,0,2π) 处的切线与法平面方程。
简略解答
切线 (x−2)/0=y/2=(z−2π)/1；法平面 2y+z−2π=0。
详细解答
点 (2,0,2π)：由 2cos θ=2、2sin θ=0 得 θ=2kπ；再由 z=θ=2π，取 θ=2π。
切向量 r′(θ)=(−2sin θ, 2cos θ, 1)，θ=2π 时 r′(2π)=(0,2,1)。
切线：(x−2)/0=y/2=(z−2π)/1，按方向数含 0 的写法拆成 x=2，y/2=z−2π。
法平面：0·(x−2)+2(y−0)+1·(z−2π)=0 → 2y+z−2π=0。
33
P137
交换积分次序计算 ∬_D xy dxdy，D 由 y²=x 与 y=x−2 围成。
简略解答
两种次序都得 45/8=5.625。
详细解答
交点：由 x=y² 与 x=y+2 得 y²=y+2 → y=−1 或 y=2，对应点 (1,−1)、(4,2)。
先对 x（y 型）：−1≤y≤2，y²≤x≤y+2。
∬xy dxdy=∫_{−1}^{2} y·[(y+2)²−y⁴]/2 dy=½∫_{−1}^{2}(y³+4y²+4y−y⁵)dy。
逐项：∫_{−1}^{2}y³=15/4，∫_{−1}^{2}4y²=12，∫_{−1}^{2}4y=6，∫_{−1}^{2}y⁵=21/2=10.5。
合计 ½(3.75+12+6−10.5)=½·11.25=45/8。
换 x 型验证：0≤x≤1 时 −√x≤y≤√x；1≤x≤4 时 x−2≤y≤√x，两部分相加同样得 45/8。
34
P146
计算 ∬_D cos(x²+y²)dxdy，D 为圆域 x²+y²≤R²。
简略解答
π sin R²。
详细解答
极坐标 dxdy=r dr dθ：I=∫₀^{2π}dθ∫₀^R cos(r²)·r dr=2π·½[sin(r²)]₀^R=π sin R²。
验算 R=1：I=π sin 1≈2.644。
35
P148
求旋转抛物面 z=x²+y² 与 z=2−x²−y² 所围立体的体积。
简略解答
V=π。
详细解答
交线：x²+y²=2−x²−y² → x²+y²=1，交线为 z=1 处的圆。
V=∬_{x²+y²≤1}[(2−x²−y²)−(x²+y²)]dxdy=∫₀^{2π}dθ∫₀¹(2−2r²)r dr=2π[r²−r⁴/2]₀¹=2π·½=π。